一元二次方程实际应用题一般是九年级上学期期中考试的常考题，有四类问题经常出现在期中考试试卷中。在解应用题时，我们首先要读懂题意，找到等量关系式，根据关系式列出方程。求出答案后，需要检验方程的解是否满足条件，注意要使实际有意义。

增长率问题

增长率问题是一元二次方程中最常见的一类问题，设a为增长前的量，b为增长后的量，m为增长率，一般是2年，即次数为2，可以得到a（1 x）^2=b，下降也类似。

例题1：随着人民生活水平的不断提高，某市家庭轿车的拥有量逐年增加，据统计，某小区2018年底拥有家庭轿车64辆，2020年底家庭轿车的拥有量达到100辆，若该小区家庭轿车拥有量的年平均增长率相同．求该小区家庭轿车拥有量的年平均增长率

分析：本题考查了一元二次方程的应用．增长率问题：若原数是a，每次增长的百分率为a，则第一次增长后为a（1 x）；第二次增长后为a（1 x）^2，即 原数×（1 增长百分率）^2=后来数．

变式题：某公司今年7月的营业额为2500万元，按计划第三季的总营业额要达到9100万元，求该公司8月、9月两个月营业额的月均增长率．

分析：用增长后的量=增长前的量×（1 增长率）．即可表示出8月、9月的营业额，根据第三季的总营业额要达到9100万元，即可列方程．

这类题目要看清，是两年后的量，还是总量（几年的量之和）。

利润问题

在一元二次方程中，利润问题比较重要，也可以与二次函数结合起来考查。单件利润=售价-进价；总利润=单件利润×销售量，销售量与涨价（或降价）有关。

例题2：某商店如果将进价8元的商品按每件10元出售，那么每天可销售200件，现采用提高售价，减少进货量的方法增加利润，如果这种商品的售价每涨1元，那么每天的进货量就会减少20件，要想每天获得640元的利润，则每件商品的售价定为多少元最为合适？

分析：设每件商品的售价定为x元，则每件商品的销售利润为（x-8）元，每天的进货量为200-20（x-10）=（400-20x）件，利用每天销售这种商品的利润=每件的销售利润×日销售量（日进货量），即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合“现采用提高售价，减少进货量的方法增加利润”，即可得出每件商品的售价定为16元最为合适．

求解到答案后，要记得取舍，如果题目中出现限制性条件，比如少于、多于某个条件（不等式）、尽快清理库存等等，那么需要舍答案。

几何图形问题

几何图形问题中“篱笆问题”考查较多，一般有一面墙，墙的长度可以验证最终答案。如果遇到的题目中有“门”，记得先将门给堵起来再计算。

例题3：校园前门花园上有一面墙，长度为12m，地铁施工，需要隔离部分矩形地块，用长为26m的篱笆和这面墙围成了80平方米的矩形，如图所示．求AB和BC分别为多少？

分析：设AB边长为x米，则BC边长为（26-2x）米，根据矩形的面积=长×宽=80列出方程即可得出答案．

变式题：某农户建一个养鸡场，养鸡场的一边靠墙，若墙长为19米，墙对面有一个2米宽的门，另三边用竹篱笆围成；篱笆总长34米，长方形养鸡场除门外四周不留空隙．（1）若要围成的鸡场面积为160平方米，则养鸡场的长和宽各为多少米？（2）围成养鸡场的面积能否达到180平方米？请说明理由．

分析：（1）设垂直于墙的一边长为x米，则平行于墙的一边长为（34 2-2x）米，根据养鸡场的面积为160平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，结合墙长19米，即可确定养鸡场的长和宽；

（2）不能，设垂直于墙的一边长为y米，则平行于墙的一边长为（34 2-2y）米，根据养鸡场的面积为180平方米，即可得出关于y的一元二次方程，由根的判别式Δ=-36＜0，即可得出该方程无实数根，即围成养鸡场的面积不能达到180平方米．

本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元二次方程；（2）牢记“当Δ＜0时，方程无实数根”。

动点问题

例题4：如图所示，△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=8cm，点P从点A开始沿AB边向B以1cm/s的速度移动，点Q从B点开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发．（1）经过几s，使△PBQ的面积等于8平方厘米？（2）线段PQ能否将△ABC分成面积相等的两部分？若能，求出运动时间；若不能说明理由．

分析：（1）设运动时间为t s（0≤t≤4），则BP=（6-t）cm，BQ=2t cm，根据△PBQ的面积等于8平方厘米，即可得出关于t的一元二次方程，解之即可得出使△PBQ的面积等于8平方厘米的运动时间；

（2）设运动时间为x s（0≤x≤4），则BP=（6-x）cm，BQ=2x cm，根据△PBQ的面积等于△ABC的面积的一半，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式Δ=-12＜0，即可得出该方程无实数根，即线段PQ不能将△ABC分成面积相等的两部分．